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地球的半径多少(地球坠入太阳需要多久?)

如果地球突然停止围绕太阳的公转,它最终会由于太阳的引力而坠向太阳。这会需要多长时间呢?我猜测,这个过程开始时速度会非常慢,然后会逐渐加速至非常快。
这个过程将持续两个月之久。(如你所想,一开始速度很慢,但当地球继续下落时,速度就会加快)
这个数据是如何得到的呢?有三种方式:一种是进行精确计算(这是个漫长而枯燥的过程,会涉及到积分),另一种是使用一个巧妙的技巧,它涉及轨道物理学(下面进一步解释),第三种是所谓的粗略估计,用经验简化问题,不使用任何复杂的数学知识对答案进行大约估计。
物理学家和天文学家一直在使用粗略估计的方法,在这种情况下(像许多其他问题一样),数量级非常好用!因此,我认为有必要详细讨论一下。
最简单的方法是列出所有可能影响问题答案的因素。举个愚蠢的例子(很容易就可以想到许多不会影响答案正确性的因素):六个月前新泽西州的中奖彩票号码,瑞士的天气,地球开始下落的那一天,等等!但是,有几件事情可以令人信服地影响这个答案,其中可能包括太阳和地球的一些属性,以及太阳把地球拉进去的重力的一些属性。所以我们需要列出这些会影响到答案正确性的因素。(如果你想自己尝试一下,可以现在就列一个清单。)
显然,有两条因素可以罗列:
太阳的质量(令它为M);太阳质量越大,它对地球的引力就会越强,地球下落的时间就会越短。太阳的质量大约是1.99 x 1033克。
地球和太阳之间的距离(令它为R);如果这个距离增加,那么地球在撞到太阳之前就会走得更远,下落花费的时间就会增加。地球和太阳之间的距离大约是1.50 x 10^13厘米。
还有第三个因素影响着这个问题的答案,不过如果你不了解物理学,这个因素可能就不那么明显了:
牛顿引力常数(一般称为G);这是宇宙的一种物理性质,表示引力与其他力相比有多强。它的值是6.67 x 10^-8(“厘米立方/秒平方/克”,这是个相当有趣的单位表示)。可以肯定的是,在任何涉及重力的物理问题中,G都会出现,所以我们把它包括在这里。
除了上述三个量(M、R和G)之外,你还能想到其他可能影响问题答案的因素吗?我不能了!在这篇文章的最后,我将提到一些其他的可能性,并解释它们为什么不重要,但是现在,我们只需要用这三个数字就可以大致计算出地球撞击太阳所需的时间。
粗略估计的迷人之处在于,一旦确定了重要的数量就基本解决了这个问题!因为我们知道最终答案的单位一定是时间(如秒、分钟,几个月,等),我们需要做的就是找到一种方法,用数学公式结合M(单位质量),R(单位距离)和G(单位距离的立方/时间平方/质量),最后得出时间的单位。
如果感兴趣的话,你可以试试利用这三个量找出一个最后能计算出时间单位的公式。这将有助于理解上面提出的观点,即认为增加G或M(比如,增加引力)会缩短地球下落的时间,而增加R则会延长时间。为了使它成立,G和M(的几次方)必须出现在最终方程的分母上,而R(的几次方)必须出现在分子上。
如果你尝试了这件事,最终会发现满足上述约束条件的唯一公式是:
时间= ( R^3 / GM)^1/2
(其中,上标“1/2”表示取括号内的项的平方根)这就是用于粗略估计的公式。它是一定正确的公式吗?不,不完全是。公式前面可能会有其他系数(比如2、3或7),但是因为缺少完整的计算,所以我们可以无法确定这个数字具体是多少。然而,在像这样简单的问题中,前面的系数不会非常大,不会产生决定性的影响;天文学家习惯说,从数量级上考虑,上述方程是合理的。它可能不会给我们确切的正确答案,但它给了我们一个足够接近正确答案的估计。
如果我们把M,R,G的值代入这个公式,我们得到的答案是500万秒,大约是58天。这和真正的答案有多接近呢?如果你做了所有复杂的积分计算来精确地求出地球下落到太阳时,在每个时间点上的位置,你最后得到的公式将是:
时间=1.1( R^3 / GM)^1/2
所以这两个公式的结果只相差10%,这已经很好了!真正的答案是大约65天,粗略估计的答案已经很接近这个值,所以完全可以写“大约两个月”,就像这篇文章的开头写的那样。
读者可能会对上述讨论和粗略估计有异议。比如,如下可能存在的问题:
粗略估计总是有效的吗?并不是,在很复杂的问题中,可能有不止一个公式把所有的变量放在一起得到正确结果的单位。在这里是可行的,是因为问题很简单(只有三个变量:M、R和G),所以实际上没有其他可能的公式。如果你有一些物理背景,还有其他方法可以在更广泛的情况下进行粗略估计的计算。例如,在本文的问题中,你可以使用地球到太阳的两个不同点的能量守恒来得到正确公式的估计值。试试这个思路,看看你会得到什么!答:如果你选择起点和“中点”作为两个位置,那么利用能量守恒原理可以得到等式:GM/R = V^2/2,其中V是地球在中点的速度。当然,我们知道地球的速度会随着它的下落而增加,所以很难精确地计算出它在任何给定的点上具体值是多少,但是如果把V估计成“R除以时间”,那么就会得到一个最终的公式:
时间= 0.7 ( R^3 / GM) ^1/2
在数量级上,它和上面的公式是一样的。在这种情况下,使用它会给你一个有一点偏差的答案,(超过1个月,而不是2个月),但它仍然是有价值的一个估计,这个计算足以告诉你,地球不会在几小时之内撞到太阳,也不会在数百年内。
有关解决这个问题的其他方法的信息(包括完整的积分方法,以及一个涉及轨道物理学的简洁方法),请参阅这个问题的物理链接答案。(这种涉及轨道物理学的方法在这里是可行的,但不能像估算数量级那样普遍适用于其他问题。事实上,如果把地球落向太阳看作是一个非常细长的椭圆轨道的一半,它的轴长度等于地球到太阳的距离,那么可以利用开普勒定律来证明时间必须等于0.55/2年,也就是大约65天)。
为什么不需要考虑除M、R、G以外的其他参数?比如地球的质量,地球的大小和太阳的大小。但是,如果我们查一下这些数字,就会发现这三个量是可以忽略不计的。地球的质量大约是5.97 x 10^27克,比上面引用的太阳质量的小了几十万倍!所以相对于太阳的引力,它的重力肯定是微不足道的(如果你有一点物理背景,就会知道地球落向太阳的速度只受太阳的影响,不会依赖于地球质量,出于同样的原因,在真空中,羽毛和锤将会以同样的速度下落)。
同样地,地球的半径约为6.37 x 10^8厘米,太阳的半径约为6.96 x 10^10厘米。它们分别比上述地球-太阳的距离小了24000倍和215倍!举个例子,在理论上认为地球将坠落到太阳表面比坠落到太阳的中心的时间短是正确的,但事实证明,这个差异是极小的。不仅“差异”仅为总距离的1/215,而且由于地球在下落时加速,“差异”还进一步缩小了。坠落到太阳表面的地球移动速度非常快,所以它再到太阳中心的时间(几分钟)是极短的,相比于整个坠落时间(几个月)来说。