什么是圆的切线_ 什么叫圆切线和切点_

什么是圆的切线? 什么叫圆切线和切点?

圆的切线是几何学中描述直线与圆独特位置关系的核心概念，其定义及性质如下：

一、几何定义

• 基本定义
  圆的切线是一条与圆有且仅有一个公共交点的直线，该交点称为切点。例如，若直线l与圆O仅相交于点P，则l是圆O在点P的切线，P为切点。

• 无限逼近想法
  当曲线上两点无限接近时，割线的极限位置即为切线。对于圆来说，若P是圆上定点，Q是邻近点，当Q无限趋近于P时，割线PQ的极限位置PT即为圆在点P的切线。

二、判定定理

圆的切线需满足下面内容任一条件：

• 定义法：直线与圆仅有一个公共点（切点）。
• 半径垂直法：直线经过半径的外端，且与该半径垂直。
  • 几何语言：若直线l过圆O上点A，且l ⊥半径OA，则l是圆O的切线。
• 距离等于半径法：圆心到直线的距离等于圆的半径。

口诀辅助记忆：

• 有切点：“连半径，证垂直”；
• 无切点：“作垂直，证半径”。

三、核心性质

• 垂直性：圆的切线垂直于经过切点的半径。

  • 推论：
    • 经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；
    • 经过切点且垂直于切线的直线必过圆心。

• 唯一性：

  • 切线和圆心的距离等于圆的半径；
  • 过圆外一点可作两条切线，且这两条切线长度相等（切线长定理）。

• 弦切角定理：
  弦切角等于它所夹弧对应的圆周角。例如，若PA是圆O的切线，∠APB是弦切角，则∠APB等于弧PB所对的圆周角。

四、相关定理扩展

• 切线长定理：
  从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，且该点与圆心的连线平分两条切线的夹角。

• 切割线定理：
  若一条切线与一条割线相交于圆外点P，则切线长的平方等于该点到割线与圆交点的两条线段长度的乘积。

圆的切线既是几何直观的“轻触”关系（仅一个公共点），也蕴含严格的数学逻辑（垂直半径、距离相等）。其判定与性质广泛应用于解决与圆相关的角度、长度及位置关系难题，是平面几何的重要基础