半圆的方程公式是什么时候学的 半圆的方程公式是什么_ 半圆的方程公式左半圆怎么求

半圆的方程公式是什么时候学的 半圆的方程公式是什么? 半圆的方程公式左半圆怎么求

半圆的方程公式需根据圆心位置、半径及半圆路线（上半圆/下半圆/左半圆/右半圆）确定。下面内容是具体公式及适用条件：

一、标准方程形式

设圆心坐标为(a, b)，半径为r，则半圆方程可表示为：

• 上半圆（纵坐标≥圆心纵坐标）：
  \[ y = b + \sqrtr – (x – a)} \]
  适用条件：\( x \in [a – r, a + r] \)（横向范围不超过半径延伸）

• 下半圆（纵坐标≤圆心纵坐标）：
  \[ y = b – \sqrtr – (x – a)} \]
  适用条件同上，但需注意根号前取负号

• 右半圆（横坐标≥圆心横坐标）：
  \[ x = a + \sqrtr – (y – b)} \]
  适用条件：\( y \in [b – r, b + r] \)（纵向范围限制）

• 左半圆（横坐标≤圆心横坐标）：
  \[ x = a – \sqrtr – (y – b)} \]
  适用条件同上，根号前取负号

二、独特场景简化形式

• 圆心在原点（a=0, b=0）：

  • 上半圆方程：\( y = \sqrtr – x} \)
  • 下半圆方程：\( y = -\sqrtr – x} \)
    此时方程简化为仅含半径r 的表达式

• 以直径端点推导：
  若已知直径端点坐标 \( (x_1, y_1) \) 和 \( (x_2, y_2) \)，可通过直径式方程转换为半圆方程。例如，右半圆可表示为：
  \[ x = \fracx_1 + x_2}2} + \sqrtr – \left(y – \fracy_1 + y_2}2}\right)} \]
  其中 \( r = \frac\sqrt(x_2 – x_1) + (y_2 – y_1)}}2} \)（直径长度的一半）

三、注意事项

• 定义域/值域限制：
  半圆方程需明确限制x 或y 的取值范围（如上半圆的 \( y \geq b \)），否则可能表示整圆的一部分而非半圆

• 符号选择：
  根号前取正号或负号对应不同路线的半圆，需根据实际几何位置选择

• 与一般方程的转换：
  圆的一般方程 \( x + y + Dx + Ey + F = 0 \) 可通过配方转化为标准方程，再截取半圆部分

四、应用示例

• 题目：圆心在(3, -2)，半径5，求下半圆方程。
  解答：
  \[ y = -2 – \sqrt5 – (x – 3)} \quad (x \in [-2, 8]) \]

如需进一步推导或验证，可结合圆的直径式方程或一般方程进行转换。